МАТЕМАТИЧЕСКАЯ ШКОЛА, одно из направлений в бурж. политич. экономии. Возникла во 2-й пол. 19 в. Основатель М. ш.- Л. Вальрас, видные представители - В. Парето, У. Джевонс, Ф. Эджуорт, И. Фишер, Г. Кассель, К. Викселлъ. Из предшественников М. ш. наиболее известны А. Курно и Г. Госсен. Подход М. ш. к осн. проблемам политич. экономии, как правило, мало отличается от концепций, господствовавших в бурж. экономич. мысли 2-й пол. 19 в. и 1-й трети 20 в.

Специфич. особенность теоретич. построений М. ш.- ориентация на маржи-нализм. Активное использование предельных категорий (предельная полезность, предельная эффективность, предельная производительность), принципа убывания полезности и принципа редкости роднит М. ш. с австрийской школой.

Однако место М. ш. в истории экономич. науки определено тем, что она придаёт решающее значение математике как методу изучения экономич. явлений. Именно этот принцип объединил порой сильно отличавшихся по своим экономич. взглядам учёных в рамках М. ш.

Для М. ш. ценность математич. моделей экономич. явлений состоит не столько в том, что они позволяют лаконичным образом описывать эти явления, сколько в том, что с их помощью можно получить из высказанных предпосылок выводы, к-рые иным путём не могут быть получены. Представители М. ш., и особенно Вальрас, видели в математике метод для исследования как частных, так и глобальных нар.-хоз. явлений. Типичной является модель равновесия нар. х-ва Вальраса. В отличие от модели нар. х-ва послекейнсианского периода, эта модель основывается не на макроэкономич. показателях типа нац. дохода, численности занятых, валовых инвестиций, а на показателях, характеризующих поведение отд. производителей и потребителей (т. н. микроэкономич. подход). Каждый производитель характеризуется функцией предложения, а каждый потребитель - функцией спроса. В модели с помощью равновесных цен обеспечивается равенство спроса и предложения по каждому товару. Из возникшего равновесия система может быть выведена только с помощью внеш. сил. Осуществлённый Вальрасом, Джевонсом, Парето анализ условий равновесия рыночной экономики оказал большое влияние на бурж. экономистов сер. 20 в., занимавшихся проблемами построения математич. моделей капиталистич. экономики.

Модели Вальраса и др. представителей М. ш. далеки от того, чтобы адекватно описывать даже экономику капитализма периода свободной конкуренции. Они упрощают, а часто и искажают реальные условия функционирования капиталистич. системы х-ва. Достаточно указать на статичность этих моделей, на игнорирование циклич. характера развития капиталистич. экономики, классовой борьбы и т. д. Вместе с тем модели, разработанные М. ш., сыграли и известную положительную роль, стимулируя исследования, приведшие к созданию в 50-е гг. 20 в. межотраслевой модели нар. х-ва на основе метода "выпуск - затраты", а также к получению интересных результатов в области ценообразования в условиях экономич. равновесия (модели Д. Гейла, Дж. К. Эрроу, Г. Дебре и др.).

Возрастание престижа М. ш. в бурж. экономич. науке во 2-й пол. 20 в. в большой степени связано также с тем значением, к-рое приобрели экономико-математич. модели в практике гос.-монополистич. регулирования капиталистич. экономики.

Работы представителей М. ш. всегда привлекали внимание экономистов-марксистов. Глубокий критич. анализ их осуществил ещё в 20-е гг. сов. экономист И. Г. Блюмин. В связи с тем, что с 60-х гг. в сов. экономич. науке резко возрастает сфера использования математич. методов, М. ш. вновь становится объектом интенсивного критич. анализа.

Лит.: Блюмин И. Г., Критика буржуазной политической экономии, т. 1, М., 1962; Шляпентох В. Э., Эконометрика и проблемы экономического роста, М., 1966. В. Э .Шляпентох.

МАТЕМАТИЧЕСКИЕ ЖУРНАЛЫ. Специальные М. ж., являющиеся органами различных науч. учреждений, обществ и объединений, возникли в нач. 19 в. В 70-е гг. 20 в. во всём мире насчитывается более 250 М. ж. Значительно возросший выпуск математич. публикаций сделал необходимым издание реферативных журналов по математике. Расширение математич. образования привело к созданию М. ж., посвящённых педагогич. вопросам и методике преподавания математики (гл. обр. в средних уч. заведениях).

Общие журналы. Отдельные математич. статьи впервые стали печататься в общих журналах. Исторический интерес представляют: "Journal des savants" (P.- Amst.- Lpz., с 1665), в к-ром публиковались работы братьев Бериулли по исчислению бесконечно малых; "Acta eruditorum" (Lpz., 1682-1731), здесь напечатаны многочисл. работы Г. Лейбница по дифференциальному и интегральному исчислению, изложение содержания "Математических начал натуральной философии" И. Ньютона, а также статьи Г. Лопиталя, Бернулли и др. виднейших математиков; "Commentarii Academiae scientiarum imperialis Petropolitanae" (П., 1728-51, название неоднократно менялось, подробнее см. Известия Академии наук СССР). В изданиях Петерб. АН были помещены 43 работы Д. Бернулли, 473 работы Л. Эйлера (печатались до 1830), а также работы знаменитых русских математиков (М. В. Остроградского - 60, В. Я. Буняковского - 103, П. Л. Чебышева - 50, Е. И. Золотарёва - 6, А. А. Маркова - 51, А. М. Ляпунова - 20, В. А. Стеклова - 47).

Многочисл. науч. общества и университеты в различных городах России и СССР выпускали и выпускают свои издания: "Известия", "Труды", "Сообщения", "Сборники работ" и т. п., в к-рых имеются также математич. статьи. Среди этих изданий: "Казанский вестник" (1821-33) и его продолжение "Ученые записки Казанского университета" (с 1834), в к-рых впервые опубликованы важнейшие сочинения Н. И. Лобачевского; "Известия Физико-математического общества при Казанском университете" (с 1891), "Ученые записки имп. Московского университета" (1833-36), "Ученые записки Московского университета. Отдел физико-математический" (1880 - 1916), "Ученые записки Московского университета" (с 1933).

Различные общие издания иностр. академий, университетов и науч. обществ также отводят значительное место математич. публикациям.

Ряд общих журналов имеет целью быстрое опубликование коротких предварительных сообщений о достигнутых результатах по математике. Осн. журналы этого типа: "Доклады Академии наук СССР" (с 1922), "Comptes rendus de 1'Academie des sciences" (P., с 1835), "Proceedings of the National Academy of sciences of the United States of America" (Wash., с 1915).

Специализированные математические журналы. Старейшие М. ж., издающиеся и в настоящее время (1974): ^Математический сборник" (с 1866), "Journal fur die reine und angewandte Mathematik" (В., с 1826), "Journal de mathematiques pures et appliquees" (P., с 1836), "Annales scientifiques de 1'Ecole normale superieure" (P., с 1864), "Proceedings of the London Mathematical Society" (L., с 1865), "Mathematische Annalen" (В.-Lpz., с 1869), "Bulletin de la Societe mathematique de France" (P., с 1872), "American Journal of Mathematics" (Bait., с 1878), "Acta mathematica" (Uppsala - Stockh., с 1882), "Proceedings of the Edinburgh Mathematical Society" (Edin., с 1883), "Annals of mathematics" (Princeton, с 1884), "Rendiconti del Circolo matema-tico di Palermo" (Palermo, с 1884), "Bulletin of the American Mathematical Society" (Lancaster, с 1891).

Специализированные М. ж. более позднего периода: "Известия АН СССР. Серия математическая" (с 1937), "Успехи математических наук" (с 1946), "Украинский математический журнал" (К., с 1949), "Сибирский математический журнал" (Новосиб., с 1960), (Математические заметки" (с 1967), "Transactions of the American Mathematical Society" (Lancaster, с 1900), "Biometrika" (L., с 1901), "Mathematische Zeitschrift" (West-B., с 1918), "Fundamenta mathe-maticae" (Warsz., с 1920), "Journal of the London Mathematical Society" (L., с 1926), "Quarterly Journal of Mathematics" (Oxf., с 1930), "Scripta mathematica" (N. Y., с 1931), "Duke Mathematical Journal" (Durhem, с 1935), "Quarterly of Applied Mathematics" (Providence, с 1943), "Journal of the Mathematical Society of Japan" (Tokyo, с 1948), "Annales de 1'Institut Fourier" (Grenoble, с 1949), "Canadian Journal of Mathematics" (Toronto, с 1949), "Mathematikai lapok" (Bdpst, с 1949), "Mathematische Nachrichten" (В., с 1948), "Studii si cercetari matematice" (Вис., с 1950), "Proceedings of the American Mathematical Society" кои модели является теория всемирного тяготения Ньютона, позволившая не только объяснить движение известных к моменту её создания тел Солнечной системы, но и предсказывать существование новых планет. С другой стороны, появляющиеся новые экспериментальные данные не всегда могут быть объяснены в рамках принятой модели. Для их объяснения требуется усложнение модели.

Лит.: Тихонов А. Н., Самарский А. А., равнения математической физики, 4 изд., М., 1972; Владимиров В. С., Уравнения математической физики, 2 изд., М., 1971; Соболев С. А., Уравнения математической физики, М., 1966; К у Р а н т Р., Уравнения с частными производными, пер. с англ., М., 1964; Морс Ф. М., Ф е ш б а х Г., Методы теоретической физики, пер. с англ., т. 1-2, М., 1958. А,Н.Тихонов, А.А.Самарский, А.Г.Свешников.
 
"МАТЕМАТИЧЕСКИЕ ЗАМЕТКИ", научный журнал Отделения математики АН СССР, публикующий краткие (до 1/2 авт. листа) оригинальные работы по всем разделам совр. математики, а также информационные материалы. Издаётся в Москве с 1967. Ежегодно выходят 2 тома, состоящие из 6 выпусков каждый. Тираж (1974) ок. 1200 экз.

МАТЕМАТИЧЕСКИЕ ЗНАКИ, см. Знаки математические.

МАТЕМАТИЧЕСКИЕ ИНСТИТУТЫ, научные учреждения, ведущие исследовательскую работу в области математики и её приложений. В СССР почти все М. и. входят в состав АН СССР или АН союзных республик. В АН СССР имеются Математический институт им. В. А. Стеклова, Прикладной математики институт, Вычислительный центр, Математики институт Сибирского отделения, Математики и механики институт Уральского центра, Вычислительный центр Сибирского отделения.

Центры н.-и. работ по математике в академиях наук союзных республик либо входят составной частью в ин-ты более широкого профиля, либо являются самостоятельными М. и. Число последних увеличивается; они, как правило, выделяются из указанных более общих ин-тов (ниже даны даты основания последних). К нач. 1974 действовали следующие ин-ты АН союзных республик: Ин-т математики АН УССР (осн. в 1934), Тбилисский математич. ин-т им. А. М. Размадзе АН Груз. ССР (осн. в 1935), Ин-т математики им. В. И. Романовского АН Узб. ССР (осн. в 1943), Ин-т математики АН Арм. ССР (осн. в 1955), Ин-т математики АН БССР (осн. в 1955), Ин-т физики и математики АН Литов. ССР (осн. в 1956), Ин-т математики и механики АН Азерб. ССР (осн. в 1959), Ии-т физики и математики АН Кирг. ССР (осн. в 1960), Ин-т математики с вычислительным центром АН Молд. ССР (осн. в 1964), Ин-т математики и механики АН Казах. ССР (осн. в 1965), Ин-т прикладной математики и механики АН УССР (осн. в 1970), Ин-т математики АН Тадж. ССР (осн. в 1973).

В социалистич. странах М. и. в основном также входят в состав академий наук. В капиталистических странах М. и. входят обычно в состав университетов.

МАТЕМАТИЧЕСКИЕ КОНГРЕССЫ международные созываются 1 раз в 4 года. Первый М. к. состоялся в Цюрихе в 1898. После 2-й мировой войны 1939-45 М. к. состоялись в Кембридже (США, Массачусетс, 1950), Амстердаме (1954), Эдинбурге (1958), Стокгольме (1962), Москве (1966), Ницце (1970). Число делегатов достигает 3-4 тыс. человек (ок. 3 тыс. в Стокгольме, св. 4 тыс. в Москве, ок. 3 тыс. в Ницце).

На М. к. заслушиваются и обсуждаются обзорные доклады о достижениях матем. науки и её приложений за время, истекшее после предшествующего конгресса, а также доклады о наиболее ярких результатах, полученных за этот период.

Программа конгрессов включает пленарные заседания для всех участников и секционные заседания. Список секций устанавливается перед очередным конгрессом и меняется со временем. Так, напр., во время М. к. в Москве работало 15 секций, а в Ницце - 33 секции.

Помимо чисто математических секций (оснований математики и матем. логики, теории чисел, алгебры, геометрии, топологии, анализа, теории обыкновенных дифференц. уравнений, дифференц. уравнений с частными производными, теории вероятностей и матем. статистики), на М. к. организуются обычно секции матем. проблем физики и механики, педагогики и истории математики. На последних М. к. организовывались секции по прикладным разделам математики: численному анализу, теории оптимизации и другим.

Науч. программа конгрессов состоит из часовых обзорных докладов, зачитываемых на пленарных заседаниях (пленарных докладов), обзорных секционных докладов (30-50 мин) и коротких сообщений на секциях (10-15 мин). По традиции на М. к. зачитывается 16 пленарных докладов и 60-90 обзорных секционных; исключение составлял М. к. в Ницце, в программу к-рого было включено, в связи с увеличением числа секций, 230 обзорных секционных докладов.

Пленарные и обзорные секционные доклады являются заказными, т. е. докладчики персонально приглашаются Ор-ганизац. комитетом конгресса для прочтения доклада по определённому направлению. Короткие сообщения включались в программу всех М. к., кроме М. к. в Ницце. Включение коротких сообщений в программу происходит по заявкам участников, однако Организац. к-т конгресса обычно производит нек-рый отбор.

Практическая организация М. к. принадлежит стране, в к-рой решено провести очередной конгресс. С этой целью создаётся нац. Организац. к-т, к-рый решает вопросы подготовки М. к. Со времени создания международного математического союза (1952) в подготовке науч. программ М. к. главная роль принадлежит органам междунар. матем. союза- Исполкому и назначаемому им Междунар. консультативному комитету. Консультативный комитет устанавливает список секций и создаёт комиссии экспертов по секциям - т. н. "панели". Панели подготавливают предложения по персональному составу приглашённых докладчиков по секциям, а также вносят предложения о пленарных докладчиках. Окончат, решение по этим вопросам выносится Консультативным комитетом и Исполкомом междунар. матем. союза.

С 1950 на первом пленарном заседании М. к. происходит вручение золотых медалей и премий имени Филдса в размере 1500 амер. долларов, к-рыми Междунар. матем. союз поощряет молодых математиков за крупные науч. достижения. На заключит, пленарном заседании М. к. происходит утверждение места и сроков проведения следующего конгресса.

Сов. математики участвуют в М. к. с 1928 (М. к. в Болонье). Показателем крупной роли сов. математики в мировой матем. науке может служить число обзорных докладов, поручаемых сов. учёным: на М. к. 1966 и 1970 доля сов. докладов составляла ок. 25% . Л. С. Понтрягин, А. Б. Жижченко.

МАТЕМАТИЧЕСКИЕ ОБЩЕСТВА, добровольные обществ, opr-ции, объединяющие лиц (в масштабе города или всей страны), работающих в области математики. Первые М. о. возникли на рубеже 17-18 вв. в Германии и Великобритании. Многие М. о. были созданы в 19 в.: напр., Московское математическое общество (1867), Харьковское математическое общество (1879), Казанское физико-математическое общество (1890), Лондонское матем. об-во (1865), М. о. Франции (1872), Физико-матем. об-во Японии (1884), Нем. союз математиков (1890), Амер. М. о. (1894) и др. Обычно М. о. издают один или неск. журналов, в названиях к-рых, как правило, указывается название соответствующего М, о. (см. Математические журналы). В СССР (нач. 70-х гг.) действуют Московское, Ленинградское, Новосибирское, Грузинское, Литовское и др. М.о.

МАТЕМАТИЧЕСКИЕ РАЗВЛЕЧЕНИЯ И ИГРЫ. Математическими развлечениями называют обычно разнообразные задачи и упражнения занимат. характера, требующие проявления находчивости, смекалки, оригинальности мышления, умения критически оценить условия или постановку вопроса; в частности - головоломки, задачи на превращение одной фигуры в другую путём разрезания и переложения частей, фокусы, основанные на вычислениях, матем. игры. К математическим играм относят либо игры, имеющие дело с числами, фигурами и т. п., либо игры, исход к-рых может быть предопределён предварительным теоретич. анализом. С появлением и развитием матем. игр теории термин "матем. игры" (в смысле этой статьи) постепенно выходит из употребления.

Игра Баше. Из кучки, содержащей п (напр., 35) предметов, двое играющих берут поочерёдно не более чем по т (напр., 5) предметов. Выигрывает тот, кто возьмёт последние предметы. Теория игры устанавливает, что если п не делится на т + 1, то начинающий игру непременно выиграет, если каждый раз будет оставлять партнёру число предметов, кратное т + 1 (в примере - кратное 6).

Игра "15". Играет один человек. На шестнадцатиклеточной доске расположены в случайном порядке 15 перенумерованных шашек. Передвигая шашку одну за другой на свободную клетку с любой из смежных с ней клеток, требуется упорядочить расположение шашек (привести к нормальному расположению - положению I, указанному на рис. 1). Теоретич. анализ игры, известный с 1879, показывает, что задача может быть решена только в том случае, если число инверсий (т. е. число нарушений нормального расположения), образуемых номерами шашек в исходном положении, имеет ту же чётность, что и номер строки, в к-рой есть свободная клетка. Чтобы установить число инверсий, надо для каждой шашки подсчитать число предшествующих ей шашек с большим номером и сложить все эти числа; их сумма и равна искомому числу инверсий. При этом устанавливается след, последовательность в исходном расположении шашек: слева направо вдоль строк и сверху вниз при переходе от одной строки к другой. Напр., в расположении II (см. рис. 1) число инверсий четно (равно 38), а свободная клетка находится в чётной (во 2-й) строке, т. е. расположение II может быть приведено к нормальному. Напротив, расположение III привести к нормальному невозможно, т. к, число инверсий в нём нечётно (равно 1: шашка с № 15 предшествует шашке с № 14), а свободная клетка находится в 4-й строке (в строке с чётным номером).

Полное матем. обоснование имеется также у таких М. р. и и., как вычерчивание фигур одним росчерком, лабиринты, комбинированные задачи на шахматной доске и др. Большая группа М. р. и и. пластинку с любого столбика на любой другой, но нельзя класть большую пластинку выше меньшей.

М. р. и и. пользовались вниманием многих крупных учёных [Леонардо Пизанский (13 в.), Н. Тарталъя (16 в.), связана с поисками оригинальных и красивых решений задач, допускающих практически неисчерпаемое или даже бесконечное множество решений.

К числу таких развлечений относится, напр., "составление паркетов" - задача о заполнении плоскости правильно чередующимися фигурами одного и того же вида (напр., одноимёнными правильными многоугольниками) или нескольких данных видов. Если "двухцветный квадратный паркет" с осями симметрии А'А и В'В (см. рис. 2) составляется из 4n2 равных квадратов, каждый из к-рых разбит диагональю на белую и чёрную половины, то число различных паркетов равно 4п2 (это число быстро растёт при возрастании га).

Очень большое, до сих пор точно не установленное число решений имеют также: задача Эйлера о шахматном коне - обойти ходом коня шахматную доску, побывав на каждой клетке по одному разу, и задача о составлении многоклеточных магических квадратов. В подобного рода задачах интересуются обычно определением числа решений, разработкой методов, дающих сразу большие группы решений. Матем. содержание ряда других М. р. и и.- в установлении наименьшего числа операций, необходимых для достижения поставленной цели. К таким развлечениям относятся: задачи типа "переправ", "размещений" или игры, аналогичные игре "ханойская башня", суть к-рой в подсчёте числа ходов, необходимых для перенесения пластинок со столбика Л (см. рис. 3) на столбик С, пользуясь столбиком В, если за один ход можно переносить лишь одну.

Дж. Кардано (16 в.), Г. Монж (2-я пол. 18 - нач. 19 вв.), Л. Эйлер (18 в.) и др.]. Сборники М. р. и и. начали появляться с 17 в. Содействуя повышению интереса учащихся к математике, развитию сообразительности, настойчивости и внимания, М. р. и и. применяются также и в пед. процессе. В России это нашло отражение уже в "Арифметике" Л. Ф. Магницкого (1703) и даже в матем. рукописях 17 в.

Лит.: Игнатьев Е. И., В царстве смекалки или арифметика для всех, 2 изд., кн. 1 - 3, М.- Л., 1924-25; К о р д е м с к и й Б. А., Математическая смекалка, 8 изд., М., 1965; Перельман Я. И., Живая математика, 9 изд., М., 1970; его же, Занимательная арифметика, 9 изд., М., 1959; его же, Занимательная алгебра, 12 изд., М., 1970; его же, Занимательная геометрия, 11 изд., М., 1959; Ш у б е р т Г., Математические развлечения и игры, пер. с нем., Одесса, 1911; Арене В., Математические игры, пер. с нем., Л.- М., 1924; Гарднер М., Математические чудеса и тайны. Математические фокусы и головоломки, пер. с англ., 2 изд., М., 1967; его же, Математические досуги, пер. с англ., М., 1972.

МАТЕМАТИЧЕСКИЙ ГОРИЗОНТ, см. Горизонт.

МАТЕМАТИЧЕСКИЙ ИНСТИТУТ им. В. А. Стеклова Академии наук СССР (МИАН), центральное советское научно-исследовательское учреждение, разрабатывающее вопросы математики; находится в Москве; имеется отделение в Ленинграде. Существует как самостоят, учреждение с 1934, когда он выделился из состава Физико-матем. ин-та АН, организованного В. А. Стекловым в 1921. С момента основания ин-т был возглавлен И, М. Виноградовым, к-рый является директором и в настоящее время (1974). На базе отделов ин-та организован ряд учреждений АН: ин-т механики АН СССР (ныне Проблем механики институт АН СССР), Точной механики и вычислительной техники институт АН СССР, Прикладной математики институт АН СССР, Вычислительный центр АН СССР, Математики институт Сибирского отделения АН СССР, Математики и механики институт Уральского научного центра АН СССР.

В ин-те разрабатываются наиболее важные проблемы теории чисел, алгебры, математич. логики, геометрии, топологии, теории функций, дифференциальных уравнений, матем. теории оптимального управления, теории вероятностей, математической статистики и др. разделов математики, а также важные проблемы механики и теоретич. физики. Науч. сотрудниками ин-та выполнен ряд работ, имеющих фундаментальное значение. Авторы многих из них удостоены Ленинских и Гос. премий СССР. Ин-т издаёт "Труды" (с 1931). Имеется аспирантура. Награждён орденом Ленина (1967). Ю. В. Прохоров.

МАТЕМАТИЧЕСКИЙ ИНТУИЦИОНИЗМ, философско-матем. течение, отвергающее теоретико-множеств. трактовку математики и считающее интуицию единств, источником математики и гл. критерием строгости её построений. Восходящая к античной математике интуиционистская традиция в той или иной степени разделялась такими учёными, как К. Ф. Гаусс, Л. Кронекер, А. Пуанкаре, А. Лебег, Э. Борель, Г. Вейль. С развёрнутой критикой классической математики и радикальной программой интуиционистского переустройства математики выступил в нач. 20 в. Л. Э. Я. Брауэр. Формирование этой программы, к-рую ныне и принято называть •"интуиционизмом" (сам Брауэр использовал термин "неоинтуиционизм"), проходило в острой полемике с математическим формализмом на фоне вызванного антиномиями теории множеств кризиса оснований математики. Брауэр решит, образом отвергал как веру в актуальный характер бесконечных множеств (см. Бесконечность в математике), так и правомерность экстраполяции в область бесконечного выработанных для конечных совокупностей законов традиционной логики. Согласно интуиционистским воззрениям, предметом исследования математики являются умственные построения, рассматриваемые как таковые "безотносительно к таким вопросам о природе конструируемых объектов, как вопрос, существуют ли эти объекты независимо от нашего знания о них" (А. Гейтинг, Нидерланды). Матем. утверждения - суть нек-рая информация о выполненных построениях. Обращение с умственными построениями требует особой логики - т. н. интуиционистской логики, не принимающей, в частности, в сколько-нибудь полном объёме исключённого третьего принципа.

В серии статей начиная с 1918 Брауэр и его последователи осуществили построение осн. разделов интуиционистской математики - теории множеств, матем. анализа, топологии, геометрии и т. д. В настоящее время (70-е гг. 20 в.) интуиционистская математика является достаточно глубоко разработанным направлением. Требования интуиционистской программы обоснования математики приводят к тому, что нек-рые разделы традиционной математики приобретают весьма необычный вид. Это связано с отказом рассматривать актуально заданные бесконечные множества как объект исследования и с требованием эффективности всех осуществляемых построений. Весьма своеобразным является основное орудие М. и.- концепция свободно становящейся последовательности (в другой терминологии - последовательности выбора) и связанная с ней новая трактовка числового континуума как "среды становления" последовательности измельчающихся рациональных интервалов (в противовес традиционной точке зрения, конструирующей континуум из отдельных точек). В своей простейшей форме свободно становящаяся последовательность (ссп) есть функция, перерабатывающая натуральные числа в натуральные и такая, что любое её значение может быть эффективно вычислено. Точное исследование показывает, что следует различать несколько видов ссп в зависимости от степени информации, известной исследователю о ссп.

Считая критерием верности построений прежде всего интуицию, и в противовес формализму, Брауэр возражал против попыток формализации интуиционистской математики и, в частности, интуиционистской логики. Но "интуиция" интуиционизма, независимо от филос. установок и взглядов на неё Брауэра и Вейля,- это, в основной своей части, наглядная умственная убедительность простейших конструктивных процессов (см. Конструктивная математика), складывающаяся у людей в процессе их социального развития, обучения и воспитания и как таковая вполне допускающая исследование точными методами.

Значит, успехи были достигнуты в изучении интуиционистской логики именно после того, как осн. её законы были точно сформулированы в виде исчислений, к к-рым можно было применять точные методы матем. логики. Можно упомянуть, напр., известную интерпретацию интуиционистского исчисления предикатов, предложенную А. Н. Колмогоровым, погружение классической формальной арифметики в интуиционистскую (К. Гёдель), доказательство независимости логических связок и невозможность представления интуиционистского исчисления предикатов в виде конечнозначной логики (К. Гёдель), теорию моделей для интуиционистской логики и мн. другие факты, выясняющие значение и особенности интуиционистской логики по сравнению с классической, к-рые принципиально не могли бы быть получены без предварительной точной формулировки. Точная формулировка законов интуиционистской логики и .интуиционистской арифметики была предложена уже в 30-е гг. 20 в. Гейтингом. Удовлетворительное построение теории ссп и более высоких разделов интуиционистской математики было завершено лишь к 70-м гг. (С. К. Клини и др.).

М. и. находится в стадии дальнейшей интенсивной разработки. Внимание М. и. к эффективности получаемых результатов находится в прекрасном согласии с вычислит, тенденцией в совр. математике и привлекает к интуиционистской логике большое число плодотворно работающих математиков. В СССР группа математиков-логиков во главе с А. А. Марковым занимается разработкой конструктивной математики - близкого к М. и. направления (см. Конструктивное направление в математике).

Лит.: Вейль Г., О философии математики. Сборник работ, пер. с нем., М.-Л., 1934; Гейтинг А., Интуиционизм, пер. с англ., М., 1965; Френкель А. А., Бар-Хиллел И., Основания теории множеств, пер. с англ., М., 1966. А. Г. Драгалин, Б. А. Кушнер.

МАТЕМАТИЧЕСКИЙ МАЯТНИК, материальная точка, совершающая под действием силы тяжести колебания вдоль дуги окружности, расположенной в вертикальной плоскости. Практически М. м. можно считать груз, подвешенный на нерастяжимой нити, если размеры груза очень малы по сравнению с длиной нити, а масса нити очень мала по сравнению с массой груза. См. Маятник.

"МАТЕМАТИЧЕСКИЙ СБОРНИК", советский научный журнал, публикующий оригинальные науч. исследования, относящиеся к различным разделам математики. Изд. в Москве. Осн. в 1866 Моск. матем. об-вом ("М. с." - старейший из издающихся в СССР матем. журналов). В 1932-35 выходил как объединённый орган Московского, Ленинградского и Казанского матем. об-в; с 1936 - орган АН СССР, а с 1948 - АН СССР и Моек матем. об-ва. "М. с." первоначально издавался на средства, собранные среди членов об-ва; из-за финанс. трудностей в некоторые годы выходил нерегулярно. С 1926 выходит регулярно, по одному тому в год (до 1934 по 4 номера, а в 1935- 1937 по 6 номеров); с 1938 ежегодно выходит 2 т. по 3 номера, а с 1956-3 т. в год по 4 номера каждый, с 1936 ведётся "Новая серия" и идёт двойная нумерация томов [с 1(43)]. Тираж (1974) ок. 2 тыс. экз.

МАТЕМАТИЧЕСКИЙ СОЮ3 международный (International Mathematical Union, IMU), научное объединение математиков, созданное в 1952. Членами М. с. (1972) являются 43 страны, в т. ч. СССР (с 1957), Польша, Венгрия, Чехословакия, ГДР, КНДР, Румыния, Югославия, Болгария, Куба. Страны - члены М. с. разбиты на 5 групп: члены 5-й, старшей группы - СССР, США, Великобритания; члены 4-й - Япония, Франция, Италия, ФРГ, Польша.

Высший орган М. с.- Ген. ассамблея М. с., созываемая 1 раз в 4 года, обычно непосредственно перед очередным Международным конгрессом математиков (см. Математические конгрессы международные). Практическое руководство М. с. осуществляется Исполкомом, избираемым Ген. ассамблеей на 4 года. В состав Исполкома входят президент, 2 вице-президента, ген. секретарь, 5 членов и бывший президент М. с. (с правом совещат. голоса).

С 1 янв. 1971 по 1 янв. 1975 президент М. с.- проф. К. Чандрасекхаран (Индия), вице-президенты - проф. Н. Джекобсон (США) и акад. Л. С. Понтрягин (СССР), ген. секретарь - проф. О. Фростман (Швеция). Исполком М. с. собирается для рассмотрения текущих дел не реже 1 раза в год.

Страны - члены М. с. осуществляют своё участие в союзе через Нац. комитеты математиков; Нац. комитет сов. математиков, созданный в 1957, функционирует при АН СССР (пред.- акад. И. М. Виноградов).

Задачи М. с.: организация и поощрение междунар. сотрудничества в области математики; подготовка науч. программы и помощь в организации Междунар. конгрессов математиков; поддержка исследований в области математики в развивающихся странах, содействие подъёму уровня матем. образования в этих странах; содействие повышению уровня матем. образования во всех странах; содействие развитию прикладных разделов математики и внедрению матем. методов в другие науки.

При М. с. функционируют комиссии по матем. образованию и по научному обмену. В обеих комиссиях участвуют сов. математики. Комиссия по матем. образованию созывает раз в 4-5 лет междунар. конгрессы по матем. образованию.

М. с. оказывает науч. организац. и финанс. помощь важнейшим междунар. мероприятиям в области математики - конференциям, симпозиумам, летним школам. М. с. организует (а также издаёт и распространяет) циклы лекций в крупных науч. центрах по актуальным направлениям совр. математики. М. с. оказывает помощь в посылке высококвалифицированных лекторов в развивающиеся страны для подъёма уровня науч. исследований в этих странах. Л. С. Понтрягин, А. Б. Жижченко.

МАТЕМАТИЧЕСКИЙ ФОРМАЛИЗМ, одно из осн. направлений в основаниях математики, представители к-рого, следуя Д. Гильберту, считают, что каждый раздел математики может (а на достаточно продвинутой стадии своего построения и должен) быть подвергнут полной формализации, т. е. излагаться в виде исчисления (формальной системы), развивающегося по нек-рым вполне определённым правилам', при этом гарантией правомерности существования и изучения к.-л. раздела математики должна быть не интерпретация его в терминах нек-рой внешней по отношению к нему действительности, а исключительно его непротиворечивость. Эти тезисы (в особенности второй) связаны с далеко идущими следствиями лишь по отношению к тем разделам математики, к-рые имеют дело с к.-л. формой понятия бесконечности. Последовательная формулировка концепции М. ф. как раз и возникла в качестве одной из реакций на парадоксы, обнаруженные в рамках изучающей это понятие множеств теории. Коротко говоря, эта концепция сводится к утверждению о содержательной истинности ч финитных" (т. е. содержательно интерпретируемых, не использующих понятия бесконечности) выводов из математич. теории, если только непротиворечивость этой формализованной теории доказана финитными средствами.

Лит.: Гильберт Д., Основания геометрии, пер. с нем., М.- Л., 1948, добавл. 6 - 10; К л и н и С. К., Введение в метаматематику, пер. с англ., М., 1957, § 8, 14, 15, 42, 79 (библ.); Новиков П. С., Элементы математической логики, М., 1959 (введение); Ч ё р ч А., Введение в математическую логику, пер. с англ., т. 1, М., 1960 (введение); Г е н ц е н Г., Непротиворечивость чистой теории чисел, пер. с нем., в кн.: Математическая теория логического вывода, М., 1967, с. 77 -153; К а р р и X. Б., Основания математической логики, пер. с англ., М., 1969, гл. 1-4. Ю.А.Гастев.

МАТЕМАТИЧЕСКОЕ ОБЕСПЕЧЕНИЕ ЦВМ, система программ, приданная к конкретной ЦВМ и предназначенная для обеспечения её использования, а также математич. методы и алгоритмы решения задач, по к-рым составлены данные программы. Состоит из общего М. о., разрабатываемого предприятием (фирмой), поставляющим ЦВМ, и специального М. о., разрабатываемого пользователями машины. Общее М. о. поступает в распоряжение каждого пользователя. Стоимость общего М. о. входит в стоимость ЦВМ и составляет значит, её часть (30% и более).

Начальные формы М. о. можно найти уже у машин первого поколения (напр., так наз. система ИС-2 для ЦВМ М-20, состоящая из библиотеки подпрограмм и программы-библиотекаря). Однако полное М. о. для ЦВМ первого поколения было невозможно из-за их низкого быстродействия и малого объёма оперативной памяти. Эксплуатация ЦВМ второго и третьего поколений без общего М. о. (и, в частности, без операционной системы) уже невозможна.

Программа, принадлежащая М. о. ЦВМ, должна быть выполнимой на данной ЦВМ, при необходимости с использованием нек-рых др. программ системы М. о.; обладать структурой, принятой в системе М. о.; должна быть оформленной и снабжённой инструкциями, установленными в системе М. о.; быть зарегистрированной и введённой в систему М. о. в соответствии с принятыми правилами. Приведённые условия обеспечивают совместимость программ, принадлежащих системе М. о., и возможность их применения любым пользователем.

Общее М. о. обычно состоит из операционной системы, средств поддержания системы М. о. в рабочем состоянии, средств программирования и приложений. К М. о. должны быть отнесены также испытательные программы, предназначенные для контроля исправности ЦВМ, к-рые, однако, используются лишь персоналом, обслуживающим ЦВМ, не применяются при программировании и не влияют на него.

Операционная система представляет собой программное дополнение ЦВМ, вместе с к-рой образует как бы новую машину, обладающую собственной системой операций и своим машинным языком. К операционной системе относятся программы, обеспечивающие: ввод заказов на выполнение работ; предварительное планирование хода выполнения работ и распределение оборудования машины; ввод программ или их частей; оперативное выполнение работ, статистич. учёт используемого оборудования и расхода машинного времени; вывод информации. Чёткое распределение функций между отд. программами операционной системы и однозначная терминология к 1974 ещё не сложились. Программы ввода программ и их частей обычно называют загрузчиками, программу предварительного планирования хода работ - планировщиком (иногда монитором), программу оперативного управления работами - диспетчером (иногда супервизором). Остальные программы в разных системах М. о. имеют различные названия.

Состав операционной системы и внутр. структура её программ в значит, степени зависят от т. н. конфигурации ЦВМ, т. е. от входящего в её состав оборудования (ЦВМ одного и того же типа могут отличаться числом блоков памяти на магнитных дисках и магнитных лентах, количеством устройств ввода и вывода и др.) и его функциональных взаимосвязей, а также от класса задач, для решения к-рых гл. обр. предназначается ЦВМ, и от режима её использования. Наиболее известные операционные системы предназначены для решения научно-технич. и экономич. задач.

Средствами для поддержания системы М. о. в рабочем состоянии служат программы дублирования материалов на машинных носителях записи, формирования библиотек подпрограмм, программы .выполнения "ежедневного туалета" операционной системы (напр., "чистка" магнитных лент и дисков, редактирование информации) и т. п, К этому же разделу М. о. относятся программы, с помощью к-рых в начале эксплуатации ЦВМ получают нек-рый вариант информац. системы, соответствующий имеющейся конфигурации ЦВМ, и вносят изменения в операционную систему в связи с изменением конфигурации ЦВМ или при модернизации операционной системы.

Средства программирования объединяют разнообразные программы, используемые для составления новых программ: трансляторы с различных алгоритмич. языков; программы, собирающие программы из т. н. модулей; программы, автоматизирующие отладку вновь разрабатываемых программ, и др.

Система средств программирования предусматривает обычно использование алгоритмич. языков (т. н. входных языков программирования) трёх уровней: машинно-ориентированных языков (типа языка ассемблера); проблемно-ориентированных алгоритмич. языков, удобных для программирования узких классов задач (напр., язык RPG, принятый для ЦВМ фирм IBM, ICL и мн. др.); одного или неск. универсальных алгоритмич. языков, таких, как алгол, фортран, кобол. Возможность отладки на ЦВМ программ, заданных на алгоритмич. языках, должна быть заложена либо в самих трансляторах, либо обеспечена с помощью самостоят, отладочных программ.

Система средств программирования ЦВМ третьего поколения, как правило, основывается на модульном принципе. Модулями называются массивы информации, заданные на алгоритмич. языке вычислит, системы или на входном языке программирования. Массивы, заданные на входных языках программирования, должны содержать информацию, необходимую для их преобразования в модули. Программу, собирающую программы из модулей, иногда называют "композером". В составе операционной системы иногда предусматривают библиотеку модулей (на языке исполнит, системы). Новые модули, составленные в процессе программирования, могут быть включены в состав библиотеки модулей с помощью соответствующей программы из числа средств поддержания системы М. о.

В раздел "приложения" системы М. о. входят программы решения конкретных задач, напр, таких, как транспортная задача, задача решения системы линейных уравнений, распределит, задача линейного программирования, задача выравнивания динамич. рядов и пр. Программы, входящие в "приложения", обычно группируются по классам задач (напр., пакет линейной алгебры, пакет матем. статистики и др.).

Существуют два способа разработки общего М. о. При первом способе М. о. разрабатывается и отлаживается на вспомогательной ЦВМ, на к-рой для этого программно моделируется исполнит. ЦВМ. Этот способ удобен тем, что М. о. можно разрабатывать заблаговременно, в отсутствии исполнит. ЦВМ. Однако при этом необходимо наличие достаточно мощной вспомогат. ЦВМ, уже имеющей М. о. При втором способе М. о. разрабатывают уже после появления хотя бы опытного образца исполнит. ЦВМ. Разработка М. о. ведётся таким образом, чтобы уже имеющиеся части М. о. могли быть использованы при создании недостающих частей. Экономически выгодно при разработке новых ЦВМ сохранять в них систему команд ЦВМ, разработанных ранее и уже имеющих М. о. При этом все программы, разработанные для уже действующих ЦВМ, могут быть использованы и в новой ЦВМ, если последняя укомплектована достаточным оборудованием.

М. о. размещается в ЦВМ след, образом. Осн. часть диспетчер-программы (наз. резидентом) обычно находится в оперативной памяти ЦВМ; остальные части диспетчер-программы и др. программы М. о. размещаются во внешних запоминающих устройствах. Возможны случаи повреждения диспетчер-программы в процессе эксплуатации ЦВМ, поэтому в машине обычно хранится легко доступная копия резидента. Оперативная память ЦВМ делится на 3 части: область резидента, рабочее поле, на к-рое в процессе работы резидент вызывает необходимые части операционной системы (не вошедшие в состав резидента) из внешних запоминающих устройств, и область пользователей, на к-рой размещаются программы (или части программ) решаемых задач, исходная информация и получаемые результаты. Значит, часть внешних запоминающих устройств, не занятая материалами М. о., также является областью пользователей. Эффективное использование М. о. возможно лишь в том случае, когда область пользователей достаточно велика, что возможно лишь при больших объёмах памяти ЦВМ. Это обстоятельство необходимо принимать во внимание при выборе ЦВМ. Специальное М. о. разрабатывается пользователями ЦВМ для решения своих конкретных задач с учётом всех возможностей, представляемых общим М. о. В состав специального М. о. могут входить трансляторы с новых языков (не входящие в общее М. о.), разработанные пользователем дополнит, программы контроля ЦВМ, программы решения отд. задач или классов задач и т. п. Как исключение, в состав М. о. могут входить программы, дополняющие операционную систему. В особых случаях программы, входящие в состав специального М. о., разрабатывают непосредственно на языке машины, для того чтобы исключить использование операционной системы. Это делают тогда, когда к разрабатываемым программам предъявляются высокие требования, к-рым операционная система не удовлетворяет.

Лит.: Ледли Р. С., Программирование и использование цифровых вычислительных машин, пер. с англ., М., 1966; Ф л о р е с А., Программное обеспечение, пер. с англ., М., 1971; ДжермейнК.Б., Программирование на ШМ-360, пер. с англ., М., 1971; Л и п а е в В. В., Ко лин К. К., Серебровский Л. А., Математическое обеспечение управляющих ЦВМ, М., 1972; Виленкин С. Я., Т р а х т е н г е р ц Э. А., Математическое обеспечение управляющих вычислительных машин, М., 1972; Тараканов К. В., Общие принципы и структура математического обеспечения автоматизированных систем управления в сб.: Цифровая вычислительная техника и программирование, в. 7, М., 1972. Н. А. Криницкий.

МАТЕМАТИЧЕСКОЕ ОБРАЗОВАНИЕ, см. в статье Механика - математическое образование.